为科学放弃王位的男人！北京高考数学题“朱载堉和他的十二平均律”

科普中央厨房 | 北京科技报

2018-06-29

朱载堉的“十二平均律”进入2018高考数学北京卷。朱载堉是谁？作为朱元璋九世孙的他为何被称为异人？十二平均律是怎么回事？

文/王洪鹏（中国科技馆高级工程师）

记者/刘辛味 编辑/陈永杰

新媒体编辑/房永珍

在2018年普通高等学校招生全国统一考试中，朱载堉的“十二平均律”成为北京市文、理科数学试卷。这是朱载堉科学艺术成果首次进入高考试卷。

▲2018年北京高考理科第4（文科第5）题关注了我国明代朱载堉对十二平均律的重要贡献

朱载堉是明朝开国皇帝朱元璋的九世孙，明代科学家、律学家、历学家、音乐家，被称为“东方文艺复兴式的圣人”，他首创十二平均律的理论，是数学史和音乐史上的重要成就，被尊为“律圣”。

▲朱载堉像

入选2018年北京高考的这道题目的选取体现了出题者向考生传达我国古代科技成就，引导学生体会中国古代先贤在人类文明中的贡献，有利于增强文化自信，增强民族自豪感。其背景律学是音乐、数学和物理学相结合的产物，渗透了数学史和数学文化。数学应用于音乐艺术上，让学生感悟数学的美感。

这道高中数学中的等比数列问题原来还有如此深刻的应用，可能并不为大众所知，那么我们就来看看朱载堉是谁，数学与音乐结合的十二平均律又是怎么一回事。

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爱科技的音乐王子

朱载堉(1536-1611)是明朝开国皇帝朱元璋九世孙，正宗的皇家子弟。明朝第四位皇帝明仁宗死后，其长子朱瞻基继承皇位，是为宣宗。朱瞻基的弟弟朱瞻埈被封“郑王”。“郑”是封地，又称藩国，郑王藩国的王府就在今天的河南沁阳。郑王传至朱载堉的父亲朱厚烷，10岁的朱载堉被册封为“世子”。朱载堉本来可以当个欢乐的王二代，享乐一生，然后继承王位，但他却脱离了低级趣味，选择了不同的人生。

朱载堉少年时，父亲朱厚烷因为看不下去当时嘉靖帝沉迷道教，大兴土木修建道场甚至不理朝政，就上疏谏言。还有一个原因就是在朱载堉家族中，出现了争夺王位的内讧，朱厚烷被诬告叛国。总之，皇帝很生气，后果很严重。朱载堉15岁时，朱厚烷被削爵囚禁。朱载堉自然也受到了牵连，但这位正义的少年决定用行动抗议。在王宫的外面，多出了一间土屋，朱载堉住了进去，他发誓父亲一日不归，自己也不回宫。结果这一住就是18年，嘉靖帝死后朱厚烷才得以平反回宫。虽然这段时期生活艰苦，朱载堉却沉浸在学习的海洋里。朱厚烷回来后拉上自己的儿子一起学习律学，研究音乐中的数学问题。

朱载堉少年时代的阅历，使他终身远离名利场，潜心科学艺术事业。更夸张的是，朱厚烷过世后，朱载堉主动让出继承权。起初，皇帝自然不同意。朱载堉历经15年7次上书，才最终将爵位让出。后人赞颂朱载堉为“真天潢中异人也”。

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毕生精力投入学术研究中

不爱王位的朱载堉喜欢什么呢？用今天的话来讲，他把自己毕生的精力投入到了学术研究中。他是集数学、律学、音乐、乐器制造、舞蹈、天文历法于一身的伟大学者，被著名科学史家李约瑟称为“东方文艺复兴式的圣人”。除了首创十二平均律（twelve tone equal temperament），朱载堉在科学上还有很多伟大的成就：最早使用算盘进行开方运算；完成九进制和十进制的小数换算；首次找到了四项等比数列的求解方法和求解公式；通过实验提出了管口校正方法；自行设计了以十二平均律为原理的定音乐器；通过排黍定尺实验，研究度量衡的变迁史，其方法影响深远；准确地计算了回归年长度，以此推算了北京地区的地理纬度；测定洛阳地区的地磁偏角，这是科学史上第一个有精确数值的磁偏角记载。

在文艺方面，朱载堉也成就颇丰。他为与音乐相配的“舞学”奠定了理论基础，为“舞学”提出了一系列颇为先进的教育观念。他的音乐教育，包括乐器伴唱、识谱学唱等方法至今仍有影响。朱载堉留下了大量的舞蹈图谱，他设计的《天下太平舞》，可谓开创了团体操的先河。这位音乐王子作词脍炙人口，在文学性上有强烈的批判现实主义色彩。朱载堉一生笃学不怠，潜心著书，著述超过百万字。他晚年“一人吹律，一人弹琴，一人击缶而歌。余亦自歌，互相倡和，而乐在其中矣。”

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▲朱载堉设计的《天下太平舞》开创了团体操的先河（图片来源：中国科技馆）

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十二平均律——一个八度为何分成12份？

朱载堉最重要的贡献就是他第一个解决了律学中的“返宫”难题，发明了十二平均律（也称十二等程律），他自己称之为“新法密率”。学过钢琴的同学都知道，钢琴一个八度是七个白键和五个黑键，这十二个音就体现了十二平均律。简单说，就是把两个do之间平均分了十二份，每份就是一个半音，这些音可不是凭空哼出来的，而是真的用算盘计算出来的，每个音的频率为前一个音的2开12次方，即1.059463094359295倍。

人类对于声音的探索已经有数千年历史了。音乐是世界的语言，我们发展出了各式各样的音乐形式。为什么要把一个八度分成12份？这要从人类的听觉开始谈起。人类能听到的声音频率大概在20Hz到20000Hz之间，但我们大脑接收到声波后，不会认为按等差数列排布的声音（如200Hz、300Hz、400Hz）是等间距的，而是按等比数列的形式（如100Hz、200Hz、400Hz），两个八度之间的距离在频率上就是两倍关系，比如高音do的频率是do频率的2倍。

虽然古人还不能从物理原理上阐释声音的产生和传播规律，但很早人们就知道弦振动的频率和其长度成反比。如果用手按住一根弦的中间，就成为了2根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音，它的频率和主音F频率相比是2:1，恰好是一个八度。那如果在其他位置呢？在数学上3:1、4:1都是简单的比例，它们能得出两个重要的频率，前者是主音的3/2倍，它们的音程关系在乐理上被称为纯五度。后者是主音的4/3倍，被称为纯四度。

不同音程间的和谐程度不同，越是这样简单的比例听起来越和谐。我们可以在一根弦上不断地寻找最和谐的音，在听觉上除了两个八度，最和谐的就是纯五度和纯四度，那么就可以继续把它们的频率减半找到相应的最和谐音，3/2F自身的3/2倍，成为了9/4F，相当于超出了两个八度，但我们可以在两个八度内找到与它等价的音，就是它的1/2，成为了9/8F。

那么可以继续找到3/2的3次方、4次方，无限找下去吗？古人也没有这么傻，经过一番尝试后，人们发现找到12个音就能大致让最和谐的音循环起来。事实上，只要计算5次，就能得到五度相生律，这就是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的方法，再加上主音和4/3主音，就是我们今天用的do到si七个音。

▲中国古代音律与西方音律对应（来源：刘娅娅，《朱载堉等程律创立流程探析—几何、算术、音律与物理声学的综合》）

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用81档特大算盘解决“返宫”千年难题

但是，无论是五度相生还是三分损益，都不能实现“黄钟还原”，也就是我们刚才提到的返宫问题，对应的西方乐理即不能“闭合成圈”（closed cycle）。其具体意思是，三分损益进行12次后，所得到的音和最初的音不成八度关系，无法周而复始地旋宫转调，而且三分损益法本身计算精度就不足，加之当时乐器制造是凭经验而非数学和物理学原理，所以找到真正的十二平均律成了一大难题。

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▲我国古代音律的返宫问题（图片来源：中国科技馆）

朱载堉充分汲取了前人的经验，他了解到八度的弦长比为2:1，把八度以等比的形式平均分成12分，则需构成一个等比数列。但当时还没有等比数列的求解方法，他看到《周礼》中记载的勾股定理得到启发，将黄钟定位1，一个八度内音程为2，即构成了一个首项为1，末项为2，共13项的等比数列，比例系数就是。那么如何找到这个比例系数呢？用今天的方法来看只需他将2开方得到了中间项（蕤宾），再继续开平方为得到半列的中间项（南吕），继续开立方则得到应钟，也就是

为什么一个如此简单的等式竟然要用千年来找到，如果把我们放在朱载堉的时代，因为当时所用的黄钟弦长为9，没有人把它定义为1，而朱载堉利用圆内接正方形，从数学上进行了推论。我国科学史家戴念祖先生就认为，朱载堉其实已经通过简单的运算得到了比例系数，如果不用《周礼》中圆内切正方形的方法推论黄钟为1，则会被同时代的律学家指责为事先返宫。所以有些说法认为十二平均律是发现，而不是发明，因为解决返宫问题，“等程律”是必然的。

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▲乐律名称与几何数列对应表（来源：戴念祖，朱载堉的生平及其数学成就——纪念朱载堉诞生 480 周年）

值得一提的是，朱载堉在十二平均律的研究中，使用算盘进行开方运算精度达小数点后24位！他自己设计了81档的特大算盘，最终解决了十二平均律这个千年难题，不仅在数学史上，也在音乐理论史上具有划时代意义。

▲朱载堉使用的八十一挡双排大算盘（图片来自网络）

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命途多舛的十二平均律

朱载堉创建十二平均律后说：“此盖二千余年之所未有，自我圣朝始也，学者宜尽心焉。”

可惜的是，十二平均律只是墙内开花墙外香，欧洲人在赞叹并实践朱载堉的伟大发明的时候，在中国朱载堉的著作却被束之高阁。

一方面，朱载堉生活的时代，明朝已经开始风雨飘摇。朱载堉所创建的律学并未引起当朝者的重视。乐律与历法一直被认为事关江山社稷，不会轻易更改。尽管朱载堉有皇室血统，但其相关著作没有被刊印推广，更像是他自己自娱自乐的产物。等到最高层注意到朱载堉的成就时，已经到了“康乾盛世”。为了巩固清朝皇室根基，乾隆帝极力维护康熙打压朱载堉的做法，十年间下六道圣旨，令他的儿子和殿前大臣对朱载堉本人和他的理论展开批判，展开了文字狱式的围剿。而真正了解朱载堉的成就，清代有记载只有音律学家江永一人。

在西方，一般认为法国数学家梅森（Marin Mersenne）首先给出十二律精准数值，发表于1636年的著作中。在他之前有荷兰数学家斯台文（Simon Stevin）提出用等比数列的思想解决“闭圆”问题（1596年），但他有计算错误，而且他的成就在三百年后才被发现。不过，同时代意大利传教士利玛窦已经记录了朱载堉关于新法密率的内容，但是否当时就流传到西方学者中还需要更多的史料考证。

朱载堉的理论在西方产生了深远影响。德国物理学家亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）说到：“在中国人中，据说有一个王子叫载堉的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”

▲西方在17世纪才认识到中国古代音乐方面的成就（图片来自网络）

不过这里还应澄清，把朱载堉誉为“钢琴理论的鼻祖”就言过其实了，虽然乐理上有共通之处，但民族和文化发展都有各自特色，就像没有十二平均律之前，我们依然也有优美的音乐一样。

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朱载堉科学艺术成就展正在展出

因为历史的原因，朱载堉没能与李时珍、宋应星、徐光启和徐霞客等明代科学家一样进入中小学教科书中，对于他的科技成就也是我国上世纪80年代后才逐渐挖掘出来的。我国著名物理学家严济慈先生这样评价朱载堉：“九峰隐名宦七疏让国高风仰九州，丹水扬翰墨十二等律历算闻四海。”科学家的冷静头脑与艺术家的入世激情，在朱载堉的身上得到了完美的统一。历史是公正的，世上少了一位王爷，史上却多了一位科学和文化巨匠。

▲朱载堉的《乐律全书》（图片来自网络）

今天，我们发现朱载堉与十二平均律已进入高考题中，不仅能让全国的青少年了解我国还有这样一位伟大的科学家，似乎还可以传达出这样一个信号，那就是提醒家长和考生不能死啃书本，应该少上一些辅导班，多逛一逛博物馆（科技馆）。中国科技馆和朱载堉纪念馆正在联合举办的朱载堉科学艺术成就展吸引了不少观众。

▲“爱科技的音乐王子-朱载堉科学艺术成就展”正在中国科技馆二楼恐龙广场举办。展览将于7月1日结束，还没去的科学艺术爱好者们抓住最后的机会啊。（7月1日还有音乐演出哦）

美中不足的是，该道试题没有及时跟踪学术界的最新研究成果。十二平均律应改称为十二等程律。戴念祖是中国物理学史学科主要创建者，他对于朱载堉的研究，开辟了中国古代音乐史和声学史的新局面。2016年，戴念祖在《中国科技术语》杂志发表的《“平均律”和“等程律”术语辨析》一文中，对平均律、中庸律、等程律等概念进行了厘清和纠误。他认为，“平均律”是欧洲十九世纪中叶之前所运用的“中庸律”，不是朱载堉发明的 “等程律”，我们现在所谓的“平均律”常被认为是朱载堉之“等程律”，混淆了“中庸律”和“等程律”的关系。随着国际学术交流的广泛开展，这些在声学和音乐学中的常用词应该及时修订。